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さあ、やっと前回の問題が解決したぜ。

やはり、ケプラーの法則を用いるしかなかったようだ。

ていうかゴメン、解きかけにして計算がめんどくさくなってずっと放置してました。

さて、ではまず前回の通り、もはやクマさんの力は宇宙規模のため、万有引力の法則に基づいて、地球が丸いということまで考慮して解かねばならない問題であることは明らかとなったな。
では早速、解いていこう。

まず、今回の場合はクマさんが弾いた角度がとても大切になってくる。
しかし、本誌中の描写を見る限りではクマさんの弾く角度は毎回微妙に異なる。
というかけっこう異なる。
上30度ぐらいのときもあるのだが、完璧に地面に平行か、下手すれば下に30度ぐらいの角度で弾いている時さえある。
流石のクマさんといえども、下向きに弾いていては飛ぶはずがないので、あれはきっと残像か何かだろう。
というわけで、簡単のためにもクマさんの弾く角度は完全に水平としよう。
つまり、地球のその点における接線方向に弾いたと仮定しよう。
通常ならば地面に平行なままだからすぐに落ちてしまうはずだが、クマさんの力なら、落ちる量よりも地球の丸さによって地面から離れていく量の方が多いので問題ない。

さて、一般に宇宙空間に放たれた物体の軌道は、楕円、放物線、双曲線のいずれかになる。
今回は、世界一口の固い男が三日で戻ってくると言っているのだから、地球を一つの焦点とした楕円軌道を描くと考えていいだろう。
ちょうどこんな感じだ。

放物線や双曲線の軌道では、永久に帰ってこない。
そして、楕円軌道を描くというのなら、ケプラーの法則という心強いアイテムが使えるのだ。

ケプラーの法則

ケプラーの法則は、1619年にヨハネス・ケプラーによって解明された惑星の運動に関する法則である。
ケプラーは、ティコ・ブラーエの観測記録から、太陽に対する火星の運動を推定し、以下のように定式化した。
第一法則 : 惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く。
第二法則 : 惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は、一定である（面積速度一定）。
第三法則 : 惑星の公転周期の2乗は、軌道の半長径の3乗に比例する。
先に、第1法則および第2法則が解明されて1609年に発表され、後に、第3法則が解明されて1619年に発表された。
(Wikipediaより)

1600年代から分かってたなんてすごいね。昔の人って偉大だね。

では、はじめに必要な文字を置こう。
弾かれた人間Aの質量をm、地球の半径と質量をそれぞれR、M、万有引力定数をGとする。
さて、まずはケプラーの第三法則から楕円軌道の半長径(以降aとする)を求めよう。
比例定数をk、公転周期をTとすると、
T^2=ka^3
が成り立つから、a=(T^2/k)^(1/3)……①
今、Tは三日すなわち3*24*60*60 (s)である。(*は×の意)
kの値は、焦点となる惑星ごとに固有の値があり、これは後で求めるとしよう。

さて、地球上で弾き飛ばされたAさんは、楕円軌道上で地球から最も離れた点で、最小の速度Vminをとる。
エネルギー保存則から、地球の重力による位置エネルギーが最も小さくなる点で逆に速さは最大になるはずだからね。
前回同様、Aさんの初速度をV0とすると、速度V0の点と速度Vminの点で面積速度一定の法則と力学的エネルギー保存則をそれぞれ用いることで、以下の二式が成り立つ。

RV0=(2a-R)Vmin　（∵ケプラーの第二法則=面積速度一定の法則）
mV0^2/2-GMm/R=mVmin-2/2-GMm/(2a-R)　（∵力学的エネルギー保存則）

ここでVminは特に必要ないから、二式を連立してVminを消去、V0について整理すると、

V0={GM(2a-R)/aR}^(1/2)……②

となる。
ここで、G、M、Rはいずれも定数、aには①の値を代入すればよい。
①については、kの値を求めなければならないのでここで求めよう。
先にも述べたようにこの値は地球の周りをまわる物体についてはどんな軌道でも一定なので、簡単に求めることができる円軌道を描いているときを考えればよい。

質量mの物体が地球の周りを一定の速度vで半径rの円軌道を描いているとすると、遠心力と重力の釣り合いの式から、

mv^2/r=GMm/r^2

∴v=(GM/r)^(1/2)

この円軌道の一周分の距離は2πrだから、

T=2πr/v
=2πr^(3/2)/(GM)^(1/2)

よってケプラーの第三法則をあてはめて、

T^2=kr^3だから、

4π^2r^3/GM=kr^3 で、 k=4π^2/GM

よって①から、

a=(GMT^2/4π^2)^(1/3)……①'

さて、これでV0を求めるために必要な値は、G、M、R、T、πの五つとなった。
Wikipediaなどを参照して調べると、

G=6.67259*10^(-11) (m^3/(kg*s^2))
M=5.9742*10^24 (kg)
R=6.37815*10^7 (m)（赤道上の場合）
T=3*24*60*60=2.592*10^5 (s)
π=3.14159265……

めんどくさいから有効数字を３ケタにして、

G=6.67*10^(-11) (m^3/(kg*s^2))
M=5.97*10^24 (kg)
R=6.38*10^7 (m)（赤道上の場合）
T=2.59*10^5 (s)
π=3.14

これらを代入して計算すると、

a=8.78*10^7 (m)

おおっ、これは意外と小さいな。
地球の半径よりちょっと大きいだけだ。
つまり、Aさんの描く軌道は地球よりほんの少し大きいだけの楕円軌道ってわけだな。
なかなか現実的な結果じゃないか。
いや、まあ人が宇宙に弾き飛ばされてる時点で現実的でも何でもないけども。

さて、このaの値を②に代入して計算してやれば、

V0=2.80*10^3 (m/s)

あれ？
秒速3km？
意外に…普通？
いや普通ではないけれど。
いつぞやの銀さんは秒速30kmには達していたはず。
まあ今回も例によって例の如く空気抵抗を無視してるからほんとはもっと速いんだろうけど…。
それにしてもこれはどうしたことか。

……どこかに間違いがあったのだろうか？

……。

………！！！？

し、しまった…！！

地球の半径……一桁間違えてた…。ホントはもう一桁小さい…。
R=6.38*10^6 (m) だよチクショウ…。
地球の半径は6400kmってこれ地理でも習ったレベルだよ…。
しまった…Wikipediaで調べたときに小数点を見落としていた…。
なんてこったい。

まあ不幸中の幸いというか、aの値はRを使ってなかったから影響はないようだな…。
ということは、やっぱりaの値はバカでかかったんだな。
地球の半径の10倍以上だもんな。
地球の10倍以上もの大きさの楕円軌道を描いてたってわけだ。
あぶねえ、少しばかりクマさんをなめてたぜ…。
するってぇと、Rを修正して計算しなおすと、V0の値は…

V0=1.06*10^4 (m/s)

はい、ということでV0は、ほぼ秒速10kmということでした。
やっぱり銀さんの秒速30kmにはさすがに及ばなかったようだ。

…だが、だからといってクマさんが銀さんに劣ると決め付けるのはまだ早い。
飛ばしたものの重さが全然違うのだ。
銀さんが飛ばしたのは、せいぜい60gぐらいのテニスボール。
対するクマさんは、体重60kgはあるだろう大の大人の人間だ。
その差実に1000倍。
物体の持つエネルギーはその重さと速さの２乗に比例するから、エネルギー的にはクマさんの飛ばした人間は、銀さんのボールの実に100倍以上のエネルギーをもっているのだ。

クマさんがAさんに与えた力についても考えてみたい。
クマに弾かれた人間は、“ぱっ”という効果音とともに瞬く間にコマから消え去る。
この瞬く間にという言葉をそのまま解釈すれば、約0.1秒の間に弾き飛ばされたことになる。
体重60kmの人間を0.1秒で秒速10kmにまで達させるには、力積と運動量の関係から…

mV0=F⊿t だから、値を代入して…

F=60*1.06*10^4/0.1 (N)
=6.36*10^6 (N)

なんと、この0.1秒の間にクマさんが平均して加えた力は、636万ニュートン。
1ニュートンって100gのものの重さとおなじぐらい。
つまり…クマさんは、瞬間的に636ｔ分もの力を加えたのだ。
3tトラックが200台以上一直線にのしかかってくる光景を想像してほしい。
尋常じゃない。
ゴムゴムのピストルとかそんなレベルじゃない。
ピストルなんてもうクソみたいなもん。
蚊が止まったかってぐらい。
636ｔから見たら、朝青竜とかもう僕たちに対する画鋲ぐらいのもん。
それぐらい次元が違う。

だいたいこんだけの力を加えといて微動だにしないクマさんがすげえ。
少なくとも僕らの住んでる世界では、力を加えたら同じだけ自分にも反作用がかかるはずなのに。
どんだけ重いんだクマさん。
少なくとも彼自身も636ｔ以上なければならないはずだ。
瞬間的にはもっと大きな力をかけてるだろうから、1000ｔ以上と見積もっていい。
クマさんハンパじゃねぇ。
1000ｔってなんだよ。ｔの千倍とかもう単位分んねえよ。
言ってみれば1Ggだよ、1ギガグラム。
サンジくんが蹴りつけても微動だにしないのも納得だよ。
流石にこればっかりは相手が悪い。

そんな巨体が普通に動き回ってるんだからこれまたハンパじゃねえ。
どんなパワーだよ。
海軍の科学力マジですげえよ。
むしろ立ってるだけで地面にめりこんでっちゃうんじゃないか？
もうとにかくすげえ。

いやはや、今回もまた、想像どおりに想像を絶するパワーが導かれることになりました。
しかし今回はなかなか計算が煩雑だったから、ほんとに合ってるのか怪しいなぁ…。
特に、aの値求めるときの3乗根が究極にめんどくさかった。
3乗根なんて普通の電卓じゃ計算できねえよチクショウ。

http://hp.vector.co.jp/authors/VA045488/root.html

ここを参考にして何とか計算したぜ…。
それに物理とかめちゃくちゃ久しぶりだから、数値計算に入る前にそもそもどっかで間違えてそうだしな。
まあ間違いがあればきっと彼が見つけて直してくれるだろう。

そう、かつてまさおをやり込みにやり込んで1位を独占した、あのフライドチキンの人が…。
じゃ、検算頑張ってくれ、フライドチキンの人！！

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フライドチキンの人 at 2008/09/27 21:25

やっと計算したか、待ってたよ！検算してみて頑張って間違い探そうとしたけど、たぶん間違ってないと思うよ。3乗根も3乗根が計算できる電卓でやったしね。空気抵抗入れて考えてみたかったけど、まだ重力がずっと同じ方向の場合しか習ってないからムリでした・・・
クマさんがその体重だとしたら、クマさんも消えるような速さで移動してるわけだから、自分の移動に使う力も半端ないな
テニプリが終わって計算したくなるようなものも少なくなったかもしれないけど、また何かこういう空想科学読本的な物理シリーズ楽しみにしてるから！ [削除]

シンピー ◆ kamiya65 at 2008/09/28 22:52

おおう、予想以上に仕事が早いな、フライドチキンの人。
3乗根まで計算できる電卓とは生意気な…。
僕は3乗根の計算だけで30分ぐらいかかったというのに…。
空気抵抗とかはもう勘弁してください。
てか人間みたいな微妙な形じゃ計算不能じゃね？
くるくる回りながら飛んだりしそうだし。
だいたいの比例定数が決まってるのか？
しかも重力の方向によって変わるのか…。
速さの2乗に比例じゃないのか…？
いや待てよ…。
そもそも大気の層は地球規模で見たら極めて薄いから、その間重力はもはや一定とみなしてよいのでは…？
いやむしろ、この速さなら空気抵抗は凄まじく大きいはず。
それは重力を無視できるレベルでは！？
だとすれば、大気圏脱出までかかる力を空気抵抗のみとみなし、地球の半径と大気圏の厚さから抵抗のかかる距離を割り出し、その脱出地点での速さが秒速10kmとなればよいはず…。
……きっと厄介な微分方程式になるんだろうな。

よし、この先は機械航空を専門にしていらっしゃるフライドチキンの人に任せた！！
僕はもう疲れたんだよパトラッシュ。

あとクマさんの移動方法についてはもうどうしようもねぇ。
自分で自分を弾いて飛ぶなんてもうニュートン先生も真っ青だよ。
何が作用反作用だ。
原理が全く分からねぇ。
運動量保存則ガン無視。
しかも秒速10kmから超絶ブレーキで一瞬で止まるという不思議。
流石すぎるぜ海軍の科学力。

まあこの物理シリーズはね、僕としても結構好きなんだけどね。
でもこのシリーズを真面目に全て読むのはたぶんフライドチキンの人ぐらいだろう…。
PCだと数式って書くのも見るのもめんどくさいんだよなぁ…。 [削除]

フライドチキンの人 at 2008/09/29 16:25

空気抵抗はふつうは速度の2乗に比例するけど、まだ速度に比例する粘性抵抗のほうしか習ってないから計算できないね・・・
一応粘性抵抗を考慮して計算してみたけど、そんなに初速変わらなかった。粘性抵抗の係数hは、桁数がだいたい10^-3　くらいでやったんだけど、本当の値がよくわからないから多分間違ってそうだけどね
ルフィーは回転せずに飛んでたから、回転なしの流体力学を習ったあとにやる気があったらまたやってみるわ！
あと落ちた場所がカームベルトだったから、もしかしたら本当に1周して同じような位置に帰ってきたのかもしれないな [削除]

シンピー at 2008/09/30 11:44

ルフィ回転せずっていうかもう、案の定宇宙空間に飛び出すなんてこともなかったな。
ここから得られる結論は、ワンピースの世界は地球とは大きさや密度が異なるってことだな。
たぶん上の計算でa=Rの条件を入れていいだろう。
そうするとクマさんの力はわからんが、さすがにGは同じだろうからワンピース世界の星のMとRの関係、つまり星の密度がわかるかもな。
めんどいから計算しないけど。 [削除]

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やあ、よい子のみんな、元気にしてたかな。
今日は、楽しい物理学入門の時間だよ。
知的好奇心が掻き立てられて、ワクワクしちゃうね。

さて、今日のお題はこちらの一幕。
今週のワンピースから。

鉞「あいつの肉球で弾かれた人間は
　　ウソか本当か三日三晩空を飛ぶというぜ」

マジっすか。
彼曰く、七武海の一人、ニキュニキュの実の能力者たるバーソロミュー・クマの肉球によって弾かれた人間は、三日三晩空を飛び続けるというのだ。
いや、世界一口の固い戦桃丸さんがそう仰るのだから、きっとそうなんでしょう。

…これはもう、計算するしかないでしょう。
人間を、三日三晩空を飛ばせるクマさんのその力の程を。
今こそ大学生の物理力を見せつけるときでしょう。

人間が三日三晩空を飛ぶ。
それがどんなにすごいことなのか、ちょっと想像できないだろう。
翼も持たぬ、何の推進力も得ることのない人間が、空を飛ぶのだ。
仮に真上に飛ばしたとしよう。
朝起きて、空を見ると人が飛んでいる。
昼ご飯を食べて、空を見るとやっぱり人が飛んでいる。
夜寝る前に、空を見るとまださっきの人が飛んでいる。
翌朝起きると、あろうことかまだ飛んでいる。
それどころか、まだ最高点に達してすらいない。
ぐんぐん上昇してる。
昼ごろやっと頂点に達し。
それからまた、１日半かけてただただ落ちてゆく。

アンビリーバブルだね。
ましてクマさんは、おそらくほとんど水平に近い角度で飛ばしてるから、これに加えてものすごい速さの横向きの運動も加わってるわけだ。
想像を絶する光景だね。

では、少し考えてみようか。

まず、クマさんがどの角度で飛ばしていたとしても、再び地面に戻ってくるまでにかかる時間は、速度の鉛直方向の成分のみによって決まる。
地面に着くかつかないかは、高さにしか関係ないからだ。

飛ばされた人（以降Aとする）の鉛直上向きの初速度を、V0とする。
この人のt秒後の鉛直上向きの速度Vは、重力加速度をgとして、
V=V0-gt
と表される。
これは、物理の基本だね。
いやいや、空気抵抗とかは無視させてね。

さて、Aは三日間飛ぶわけで、放物運動は上昇するときと下降するときで対称性があるから、半分の１日半でAは最高点に達する。
このとき、Aの鉛直方向の速度は0になるから、g=9.8(m/(s^2))として、
0=V0-9.8*1.5*24*3600　　（*は×の意味で）
よって、V0=2540160(m/s)

秒速２千５百キロ以上だね。
思い出してほしい、2007年1月13日の記事を。
そう、その日僕は銀さんの波動球の威力を計算したんだ。
彼の波動球は、秒速30kmという結論に達した。
それでさえ、太陽系をゆうゆうと抜け出し無限の彼方へと飛び去るだけの力を持っていたのだ。
それがどうだ、今回は、まさかのその80倍以上だ。
三日三晩どころの騒ぎじゃない。
永久に帰ってこれなくなってしまう。

これはいかん。
重力加速度をg=9.8(m/(s^2))で一定としたのがまずかった。
どうやら、万有引力の法則を用いて厳密に計算する必要があるようだ。
そして、先に鉛直成分しか関係ないと言ったが、地球規模となると話は別だ。
どうやら…ケプラー先生の力も借りねばならないようだ。

ちくしょう、どんだけ厄介なんだ、クマ！！
ここから先は、まだ僕も計算が済んでいない、というかどうやっていいものか手をこまねいているところなので、続きはまた次回！！

誰かわかったら教えて…。